Incompletude, agora completa

(...continuando)

Kurt Gödel participava das reuniões do Círculo de Viena mas decididamente não compartilhava com a maior parte das idéias positivistas ali discutidas. Wittgenstein era influente em tal Círculo, apesar de não aparecer por lá e, quando aparecia, não dava a mínima atenção ao que os outros falavam, preferindo ler, de frente pra parede e em voz alta, o poeta indiano Tagore (“a flecha durante o vôo grita: ‘sou livre, livre..’. Ledo engano, seu destino está traçado pela pontaria do arqueiro.”).

Rebeca Goldstein em seu “Incompletude: a prova e o paradoxo de Kurt Gödel” (Cia. das Letras 242p.) mostra que os dois cérebros não poderiam ser mais díspares. Wittgenstein era o ator do grande drama do gênio: cheio de tiques e manias, como bater na testa para despertar um insight filosófico, e sempre transpassando seu padrão de busca da verdade absoluta para o cotidiano. Por exemplo, ao visitar uma amiga que sofrera a retirada das amígdalas e lhe dissera que estava se sentindo um cachorro atropelado, ele respondera: “Você não sabe como se sente um cão que foi atropelado”.  Como se percebe, Wittgenstein precisava ler muito mais poesia.

No quesito comportamento, Gödel ficava no outro canto da sala de Viena: ele simplesmente nunca falava nada no Círculo, preferindo menear com a cabeça suas discordâncias, concordâncias ou desconfianças. Além disso, no final da vida deixou claro que suas maiores influências tinham sido Gomperz e Furtwängler, e que o Círculo e Wittgenstein não o influenciaram em nada. Mas não se sabe ao certo se há um pouquinho de ressentimento nesta afirmação pois Wittgenstein, na análise de outros matemáticos, não entendeu e por isto deu de ombros aos teoremas de Gödel. Para alguns, o conhecimento de lógica matemática de Wittgenstein não valia um vintém, “pois sabia muito pouco à respeito e o que sabia estava confinado à linha de produtos de G.Frege-B. Russell” Mas afinal, o que Gödel disse em seu teorema da incompletude?

A matemática é, desde Platão, uma área certa e inatacável (“a mais rigorosa de todas as disciplinas”), cujo conhecimento pode ser comprovado. Mas de onde vem a fonte desta certeza matemática? Na verdade, as provas partem de conclusões de outras provas e, a partir delas, deduzem conclusões adicionais. Tudo isto vale para um determinado sistema axiomático (axiomas são as verdades básicas do sistema, intuitivamente óbvios que não precisam de provas), e seus teoremas resultantes da aplicação de regras de inferência.

Há então a necessidade de eliminar a intuição que pode ser ardilosa e nos levar a maus caminhos, mostrando que às vezes o axioma pode ser refutado. O surgimento da geometria não–euclideana (sim, isto existe...) é um dos melhores exemplos disto, e que levou um de seus descobridores, J. Bolyai (1802-1860) a dizer: “...do Nada criei um estranho mundo novo”.

Os sistemas axiomáticos visam proporcionar um padrão máximo de certeza com regras claras a ponto de serem mecânicas e computáveis. A isto dá-se o nome de formalização, isto é, eliminando as intuições, os sistemas formais seriam completamente adequados à prática da matemática, como a um jogo de xadrez, sujeito a determinadas regras que constituem em si, toda a sua própria verdade. Este formalismo já havia sido declarado no manifesto dos positivistas: “O homem é a medida de todas as coisas...criamos nossos sistemas formais e a matemática inteira decorre deles”.

Aí veio o revolucionário “kuhniano” Gödel com seu primeiro teorema da incompletude: “se um sistema formal S da aritmética é consistente, então é possível construir uma proposição que chamaremos de G, verdadeira mas não comprovável naquele sistema. Assim, se S é consistente, G é verdadeira e não dedutível. Trivialmente, se S é consistente, então G é verdadeira.” (Goldstein, p. 137). Isto ajudou Gödel em seu segundo teorema da incompletude: é impossível provar formalmente a consistência de um sistema de aritmética dentro daquele sistema de aritmética.

O formalismo tinha virado um castelo de cartas, seu maior defensor e organizador,o grande matemático Hilbert, ficou enfurecido com a prova de Gödel de que existem proposições aritméticas verdadeiras e que não são comprováveis. Mas Hilbert sabia, mais que ninguém que uma prova, é uma prova, é uma prova....

Além de estar na fronteira do conhecido com o desconhecido, os teoremas de Gödel quase alcançavam a auto-contradição. Para entender melhor, vejamos o paradoxo do mentiroso: o cretense Epimênides disse: “Todos os cretenses são mentirosos”. Dá pra acreditar nele? E que tal: “Esta própria sentença é falsa”. Ela só é verdadeira se e somente se for falsa. Para Gödel isto se tornara em algo como: “Esta própria sentença, apesar de verdadeira, não é dedutível dentro deste sistema”. Portanto, o sistema formal é inconsistente ou incompleto.

A prova matemática de Gödel para este teorema já foi mais de uma vez comparada a literatura de Franz Kafka, ou mesmo ao universo de Alice no País das Maravilhas onde os próprios significados se transformam, mas no entanto, tudo segue a mais rigorosa lógica “kafkiana”: o indivíduo transforma-se numa barata, mas o mundo de sua família continua o mesmo.

É incrível que apesar de dizer que “passava por cima da prova de Gödel..” Wittgenstein, na interpretação de Goldstein, também tinha sua própria prova da incompletude, quando afirmava em seu confuso “Tractatus” que os sistemas lingüísticos não conseguiriam exaurir toda a realidade não matemática: “Existem, de fato, coisas que não podem ser expressas em palavras. Elas se fazem manifestas. Elas são o que é místico”.

Não é à toa que Gödel, tinha como autor preferido Leibniz e, como ele, acreditava que alguma versão da prova ontológica da existência de Deus seria válida. Uma vez Gödel afirmou que só faltava-lhe um passo para tentar deduzir, da definição de Deus, a existência de Deus. Como a maioria de seus trabalhos esse também não foi publicado, mas é um tema interessante para um romance policial. Da mesma forma, seu trabalho sobre relatividade, que Einstein tinha especial apreço, e que mostrava que poderíamos viajar no tempo, é material farto para uma obra de ficção científica.